2013年2月14日木曜日

黄金比

 レオナルドヴィンチも発見していたという黄金比がこれだ。
 
 
 
{{-1 + \sqrt 5 } \over 2} : 1 = 1 : {{1 + \sqrt 5 } \over 2} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} : {{3 + \sqrt 5 } \over 2}
上式を小数の近似値で表示すると、0.618 : 1 ≒ 1 : 1.618 ≒ 1.618 : 2.618 となる。
黄金数は次のような美しい連分数表示をもつ。
\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}} = [1;1,1,1,1,\ldots]
次のような表示ももつ。
\phi^{-1} = [0; 1, 1, 1, \ldots] = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}
\phi^{-1} = \phi -1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} = 0.6180339887\ldots\,
\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\ldots}}}}}
\phi = \frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}
三角関数を使うと次のように表すことができる。
\phi = 2\cos{\pi \over 5}=2\cos 36^\circ
\phi = 2\sin{{3 \pi} \over 10}=2\sin 54^\circ
\phi = -2 \cdot \sin(666^\circ)
\phi = 1+2\sin{\pi \over 10} = 1 + 2\sin 18^\circ
\phi = 1+2\cos{{2 \pi} \over 5} = 1 + 2\cos 72^\circ
\phi = {1 \over 2}\csc{\pi \over 10} = {1 \over 2}\csc 18^\circ
\phi^{-1} = 2\sin{\pi \over 10} = 2\sin 18^\circ
\phi^{-1} = 2\cos{{2 \pi} \over 5} = 2\cos 72^\circ
フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の比は黄金比に収束する。また、 1, φ, φ2, φ3, φ4, ... という等比数列を考えたとき、1 + φ = φ2 を利用すると
φ = φ,
φ2 = φ + 1,
φ3 = 2φ + 1,
φ4 = 3φ + 2,
φ5 = 5φ + 3,
φ6 = 8φ + 5,
...   
俺にはさっぱりわからないが、自分はこの法則を自然に使っていると友人に言われ、
嬉しくなった。

詳しい人、この数式を説明してくれ。