樺俐子マサ (Masaa Karis Nakashima): 黄金比

レオナルド・ダ・ヴィンチも発見していたという黄金比がこれだ。

${{-1 + \sqrt 5 } \over 2} : 1 = 1 : {{1 + \sqrt 5 } \over 2} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} : {{3 + \sqrt 5 } \over 2}$

上式を小数の近似値で表示すると、0.618 : 1 ≒ 1 : 1.618 ≒ 1.618 : 2.618 となる。
黄金数は次のような美しい連分数表示をもつ。

$\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}} = [1;1,1,1,1,\ldots]$

次のような表示ももつ。

$\phi^{-1} = [0; 1, 1, 1, \ldots] = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}$

$\phi^{-1} = \phi -1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} = 0.6180339887\ldots\,$

$\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\ldots}}}}}$

$\phi = \frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}$

三角関数を使うと次のように表すことができる。

$\phi = 2\cos{\pi \over 5}=2\cos 36^\circ$

$\phi = 2\sin{{3 \pi} \over 10}=2\sin 54^\circ$

$\phi = -2 \cdot \sin(666^\circ)$

$\phi = 1+2\sin{\pi \over 10} = 1 + 2\sin 18^\circ$

$\phi = 1+2\cos{{2 \pi} \over 5} = 1 + 2\cos 72^\circ$

$\phi = {1 \over 2}\csc{\pi \over 10} = {1 \over 2}\csc 18^\circ$

$\phi^{-1} = 2\sin{\pi \over 10} = 2\sin 18^\circ$

$\phi^{-1} = 2\cos{{2 \pi} \over 5} = 2\cos 72^\circ$

フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の比は黄金比に収束する。また、 1, φ, φ², φ³, φ⁴, ... という等比数列を考えたとき、1 + φ = φ² を利用すると

φ = φ,

φ² = φ + 1,

φ³ = 2φ + 1,

φ⁴ = 3φ + 2,

φ⁵ = 5φ + 3,

φ⁶ = 8φ + 5,

...
俺にはさっぱりわからないが、自分はこの法則を自然に使っていると友人に言われ、
嬉しくなった。

詳しい人、この数式を説明してくれ。

樺俐子マサ (Masaa Karis Nakashima)